چند جمله ای درونیاب بر حسب تفاضلات پیشرو و پسرو نیوتن

از فرمول تفاضلات پیشرو و پسرو نیوتن برای بدست اوردن چند جمله ای درونیاب  با استفاده از تابع جدولی شامل تعدادی نقاط مشخص استفاده میشود. و سپس با استفاده از چند جمله ای بدست آمده میتوان مقدار تابع در یک نقطه را مشخص کرد.

اگر نقطه ای که قصد درون یابی آن را داریم به نقاط ابتدایی تابع جدولی نزدیک باشد از فرمول تفاضلات پیشرو استفاده میکنیم که به صورت زیر میباشد:

P(x_{0}+hs)=f_{0}+s\Delta<br /><br /><br /><br /> f_{0}+\frac{s(s-1)}{2!}\Delta^{2}f_{0}+\cdots+\frac{s(s-1)(s-2)...(s-n+1)}{n!}\Delta^{n}f_{0}

که در اینجا

s=\frac{(x-x_{0})}{h}; \qquad f_0=f(x_0); \qquad \Delta^k f_i=\sum_{j=0}^k{(-1)^j \frac{k!}{j!(k-j)!}f_{i+k-j}}

همچنین اگر نقطه ای که مقدار تابع برای آن درونیابی میشود در نزدیکی نقاط انتهایی تابع جدولی باشد بهتر است از فرمول های مربوط به تفاضلات پسرو نیوتن استفاده شود که به صورت زیر میباشد:

P(x_{n}+hs)=f_{n}+s\nabla<br /><br /><br /> f_{n}+\frac{s(s+1)}{2!}\nabla^{2}f_{n}+\cdots+\frac{s(s+1)(s+2)...(s+n-1)}{n!}\nabla^{n}f_{n}

که در اینجا

s=\frac{(x-x_{n})}{h}; \qquad f_n=f(x_n); \qquad \nabla^k f_i=\sum_{j=0}^k{(-1)^j \frac{k!}{j!(k-j)!}f_{i-j}}

برای مثال با استفاده از چند جمله­ ای درونیاب بر حسب تفاضلات پسرو، با استفاده از نرم افزار متمتیکا فرمول چند جمله­ای درونیاب مربوط به تابع جدولی زیرمحاسبه شده است و حاصل درونیابی در x=2.5 و برونیابی در x=3.5 بدست آمده است.

3 2 1 0 -1 x­­­i
19 5 1 1 -1 i
تفاضلات پسرو نیوتن
تفاضلات پسرو نیوتن

با توجه به اینکه مقادیر x دارای اختلاف 1 می­باشند پس مقدار h=1 میباشد و با توجه به فرمول داده شده و مقادیر اختلافات پسرو در جدول بالا داریم:

Capture

چون x=3+s در نتیجه s=x-3 با قرار دادن s در رابطه بالا داریم:

چند جمله ای درون یاب پسرو نیوتنبا  استفاده از نرم افزار متمتیکا و چند جمله­ای درونیاب بر حسب تفاضلات پسرو، فرمول چند جمله­ای درونیاب مربوط به تابع جدولی فوق  محاسبه شده است. (برنامه کلی بوده به صورتی که بتوان باتغییر نقاط تابع جدولی فوق خروجی متناظر را دریافت کرد). برنامه حاوی تابع err باشد به گونه­ای که خطای محاسبه در نقطه­ای به غیر از نقاط جدولی مانند xj را به دست دهد. مقدار خطا در محاسبه f(xj) را برای تابع جدولی فوق در xj=2.5 محاسبه شده است.

کد شبیه سازی متمتیکا با روش چند جمله ای درون یاب بر حسب تفاضلات پسرو نیوتن را میتوانید در زیر دانلود کنید.

کد شبیه سازی متمتیکا برای تابع جدولی زیر با استفاده از تفاضلات پیشرو برای محاسبه در xj=1.8 را میتوانید از لینک زیر دانلود کنید.

3 2 1 0 x­­­i
3.5 2 1 1 i

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *